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작성자 이창호
작성일 2004-12-23 (목) 11:02
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[현대] 양자역학 (브리)
양자역학 量子力學 quantum mechanics

전자·양성자·중성자·원자와 분자를 이루는 다른 원자구성입자들의 운동을 다루는 수리물리학의 한 분야.

이는 전적으로 20세기의 연구 결과인데, 특히 1925년 이후 베르너 하이젠베르크, 루이 드 브로이, 에르빈 슈뢰딩거, 막스 보른, 폴 A.M. 디랙에 의해 발전된 것이다. 양자역학의 아이디어와 방법은 원자·핵·분자 물리와 화학의 진보에 크게 기여해왔다. 20세기의 처음 4반세기 동안 막스 플랑크, 알베르트 아인슈타인, 닐스 보어에 의해 초기의 주요발견이 이루어졌다.

양자역학의 원리들이 발견되기 전 물리학자들은 원자수준에서 일어나는 운동도 뉴턴의 고전역학에 약간의 수정을 가하는 정도로 당연히 이해할 수 있는 것으로 여겼다. 고전역학은 원자보다 훨씬 큰 태양계의 행성과 달, 지구 주위에서 움직이는 투사체 운동의 연구를 위해 발전되었다. 이 뉴턴 역학은 예를 들어 음극선관의 전자나 사이클로트론(cyclotron) 또는 고에너지 가속기 속의 양성자 같은 원자구성입자들의 운동도 상당히 정확하게 기술할 수 있다.

1913년 보어는 고전역학적 방법으로 전자의 운동을 설명했는데 이 해석은 상당히 성공적이었으며, 이러한 방법의 발전에 커다란 자극제가 되었다. 그러나 1925년에 이 방법은 큰 문제에 부딪혔으며, 물리학자들은 양자역학의 원리가 아인슈타인에 의해 발전된 상대론을 사용한다 하더라도 뉴턴 역학과 전혀 다르다는 것을 깨닫게 되었다.

물론 고전역학과 양자역학은 피상적인 큰 차이에도 불구하고 서로 밀접하게 연결되어 있다. 이 관계는 19세기의 광학에 의해 알려진 것과도 같은 것이다. 여기서 광학장치에 사용된 반사와 굴절 이론의 대부분은 광학장치를 통과하는 빛의 선들이 마치 빛입자의 길인 것처럼 추적하는 기하광학의 방법에 의해 다루어질 수 있다. 그러나 빛의 간섭과 회절현상이 발견된 후 19세기에 전자파로 인식된 빛을 정확히 기술하기 위해 새로운 방법이 필요했다.

이와 유사하게 양자역학은 또한 모든 운동하는 입자들을 기술하기 위해서는 관계된 파동의 운동이 필요하다는 것을 인식하게 했다. 결국 양자역학은 때로 파동역학이라 불리는 분야가 되었다. 고전역학과 양자역학이 관계가 있는 데에는 또다른 깊은 의미가 있다. 과학이란 인간이 감각기관, 근육 구조, 신경계의 관찰과 보조기구를 사용해 수행하는 활동이다. 이것들은 자신들을 이루고 있는 원자에 비해 훨씬 큰 것들이다. 과학자들이 원자구조를 관찰하여 세밀히 이해하려 할 때 그들은 이런 큰 기구들에 의한 관찰에 제한되어 있다. 양자역학의 몇몇 면모들은 인간의 관찰능력의 한계에 의해 이해된다.

양자론의 발전

고전역학

고전역학과 양자역학은 그들의 밀접한 관계 때문에 전자에 이용된 개념들이 후자에서도 나타나지만 똑같은 개념이 크게 변화된 의미로 쓰인다. 이것은 초보자에게 혼동을 일으킬 수 있다. 시간과 공간은 비상대론적 이론 형식에서는 고전적으로 이해되며, 입자란 원자구성 입자로만 생각될 것이다. 입자의 운동은 위치를 나타내는 3개의 좌표(x, y, z)와 시간에 따라 좌표의 변화를 나타내는 속도와 가속도로 기술할 수 있다.

뉴턴의 법칙에 의해 운동량(입자의 질량×속도)의 변화는 그 입자에 가해진 힘과 같다. 여기서 3개의 미분방정식을 얻는다. 일반적으로 N개 몸체 문제에서 3N개의 미분방정식을 얻고, 특수한 값을 갖는 6N개의 초기조건으로 모든 문제를 풀 수 있다. 6N개의 초기조건은 대체로 3N개의 위치좌표와 3N개의 속도 성분으로 주어진다. 이렇게 결정된 특수해로써 그 입자의 정확한 위치를 원리상 예측할 수 있다. 그러므로 고전역학에서는 주어진 힘과 질량, 초기위치, 속도에 의해 모든 미래의 상황이 결정된다. 좀 복잡한 운동의 경우는 측정상의 문제가 있지만 충분히 노력하면 정밀하게 운동을 예측할 수 있다. 이런 과정을 통해 달과 지구 사이 인공위성의 궤도운동을 정확히 예측할 수 있었다.

이런 결정론적 성격이 결정론과 자유의지의 철학에 중요한 역할을 해왔다. 이는 특히 18세기의 프랑스 수학자 피에르 시몽 라플라스에 의해 다음과 같이 강조되었다(이런 이유로 종종 라플라스의 결정론으로 불림). 우리는 우주의 현재상태가 과거에 있었던 상태의 결과이며 미래상태의 원인인 것으로 생각해야 한다. 어떤 한순간에 자연에 작용하는 모든 힘, 우주를 구성하는 모든 것의 순간적인 위치를 알 수 있는 사람이 모든 자료를 충분히 해석할 수 있다면 세상에 있는 가장 큰 물체의 운동과 가장 작은 원자 속에 있는 것도 이해할 수 있을 것이다. 불확실한 것은 없으며 미래와 과거 모두가 우리 눈앞에 나타날 것이다.

하이젠베르크의 불확정성 원리

앞에서 설명한 고전적인 과정의 중요한 성질은 운동방정식의 특수해를 결정하기 위해서 어떤 계에 있는 모든 입자들의 초기 위치와 속도를 정확히 알아야 할 필요성이다. 이 과정에서 속도나 운동량을 얻기 위해 작은 시간 간격 동안의 모든 위치를 관찰해야 한다. 보통 이것은 빛을 쬐어 관찰자의 눈이나 광학장치로 반사된 빛을 관찰함으로써 수행할 수 있다. 이 과정의 정당성은 관찰되는 물체의 운동이 관찰을 위해 사용된 빛과의 충돌에 영향을 받지 않는다는 무언의 가정에 따른다.

고전역학의 성공은 큰 물체에 적용할 때 빛의 산란에 의한 운동의 영향이 없다는 점이다. 그러나 이런 일반과정을 원자나 분자 속에 있는 전자의 운동에 적용할 때 상황은 달라진다. 점광원에 의한 빛은 망원경이나 현미경에 점상으로 맺혀지지 않는다. 상은 언제나 회절에 의해 약간 흐려지며 이 흐려짐이 빛의 방향을 재는 데 불확정성을 야기시킨다. 회절이란 빛의 고유성질이며 빛의 파동성에 기인한 불가피한 성질인 것이다.

흐려진 회절상은 파장에 비례하는 위치에 불확정성을 준다. 불확정성을 줄이기 위해 가능한 짧은 파장과 큰 렌즈를 쓰는 것이 좋다. 가장 짧은 가시광선의 경우 위치의 불확정량은 약 6×10-8m이다. 이것은 대부분 원자 지름의 600배이다. 그러므로 가시광선은 원자 안에서 전자의 정확한 위치 변화를 아는 데 부적합하다. 빛은 파동성질 이외에 다른 성질이 있다. 빛은 파동운동과 광양자의 흐름이라는 이중성을 갖는다.

전자에 빛을 쬐었을 때 빛의 산란과정에 기본적인 불확실성이 존재한다. 어떤 광자는 영향이 없고, 어떤 광자는 여러 각도로 산란된다. 광자의 방향 변화는 운동량의 변화를 의미한다. 운동량보존법칙에 따라 전자의 운동량도 변한다. 이것은 통계적이고 임의적으로 일어난다. 그러므로 산란 후 전자의 운동량에 불확정성이 있다. 전자 운동량의 불확정도는 빛의 파장이 길수록 적다.

그러므로 전자 운동량의 정확한 측정에 요구되는 조건은 위치의 정확한 측정에 요구되는 조건에 위배된다. 자세한 분석 결과 위치의 불확정성(△x)과 운동량의 불확정성(△p)의 곱은 언제나 h/4π보다 크다는 것을 알았다. 이런 기본 결과는 1927년 하이젠베르크에 의해 인식되었으며, 하이젠베르크의 불확정성원리로 알려져 있다. 그것은 뉴턴 역학이 원자수준에는 적용될 수 없는 이유를 말해준다. 따라서 뉴턴의 법칙은 양자역학의 다른 법칙으로 대체되어야 한다. 양자역학의 법칙은 세밀한 궤도운동을 설명하지 않는다. 그것은 대안적으로 가능성 있는 현상을 묘사하며, 다른 대안적 사건들의 발생에 대한 상대적 확률값을 제공한다. 그것은 어떤 나이의 사람의 사망에 대한 확률표가 어떤 특정인의 수명에 대한 단언과 관계없는 것과 같다.

파동­입자 이중성

앞에서 빛이 어떤 면에서는 파동의 성질을 지녔고 다른 면에서는 입자( 광자)의 흐름으로 여겨질 수 있는 이중성에 대해 살펴보았다. 광자의 에너지와 운동량은 진동수에 따라 증가된다. 긴 파장의 빛인 경우 광자는 매우 적으며, 파동의 성질이 두드러진다. 광자는 파장이 짧은 X선이나 감마선의 경우 크게 나타나며 이런 복사선의 경우 입자성이 두드러진다. 그러나 실제로는 이 두 성질이 모든 파장과 진동수에 있어 어떠한 역할을 한다. 역사적으로 이 이중성은 1900년 플랑크에 의해 최초로 인식되었다. 그는 흑체(모든 빛을 흡수하는 이상적 고체)에서 나오는 복사선의 파장 분포를 연구하고 있었다. 이것은 어떻게 뜨거운 물체는 더 빨갛게 되고 더 밝아지는지를 정량적으로 설명하는 문제였다.

관찰된 복사에너지 분포를 설명하기 위해 그는 복사선의 흡수와 방출은 어떤 상수 h에 진동수를 곱한 에너지(W=hν)를 가진, 지금은 광자라고 하는 양자에 의해 이루어진다고 가정했다. 즉, 플랑크 상수(h)라 불리는 것이 물리학에 처음으로 도입되었다. 플랑크의 추론은 좀더 복잡한 것이었고, 양자 개념은 처음에는 물리학자들로부터 인정받지 못했다. 1905년 아인슈타인은 자외선이나 X선을 쬐인 금속에서 전자를 방출하는 광전자효과를 설명하기 위해 광자의 개념을 확립했다.

그는 빛이 금속을 때릴 때 광자가 각각의 전자에 흡수되고, 그 에너지를 각각에게 하나씩 하나씩 전달한다고 가정했다. 따라서 광자가 금속에서 전자를 방출시키기 위해서는 어떤 한계 진동수보다 큰 진동수를 가져야만 한다. 이것은 또한 더 큰 세기의 빛이 더 많은 전자를 방출시키지만 각각의 전자가 갖는 에너지는 빛의 세기에 무관하다는 관찰 사실을 설명한다. 아인슈타인은 상대론이 아닌 이 업적으로 1921년에 노벨 물리학상을 수상했다.

광전자효과의 역은 X선관에서 X선이 발생될 때 일어난다. 여기서는 음극선에서 1만~100만V(볼트)의 에너지를 가진 전자가 양극으로 가속되면서 양극을 때리고 거기서 에너지를 잃고 작은 양의 에너지를 X선으로 방출한다. X선의 최대 에너지는 이론상 전자가 X선관에서 얻을 수 있는 에너지이다. J(줄)로 표시하는 이 에너지는 전하(e)와 X선관에 건 전압(V)의 곱(eV)이다. 그러므로 가장 짧은 X선의 파장(λmin)은 Ve=hcλmin-1로 주어진다. 이것보다 긴 파장은 전자가 일부의 에너지를 다른 과정에서 잃고 X선을 방출할 때 생긴다. 이는 X선이 광자로 이루어졌다는 가정과 부합된다.

1923년 미국의 아서 홀리 콤프턴은, X선을 고체인 흑연에 산란시키는 실험을 했다. 흑연에서 전자는 다른 원소보다 약하게 구속되어 있다. 단색파장(λ0)의 빛을 사용한 산란실험 결과 그는 두 종류의 파장을 발견했다. 하나는 처음(λ0)의 것과 같고, 다른 하나는 산란각도에 따라 길어진 파장(λ1)이었다(그림 참조). 이것은 X선이 산란될 때 2개의 확실한 과정이 있음을 보여준다. 변하지 않은 광자는 흑연의 원자 안에 세게 속박된 전자에 산란된 것이며, 변화된 광자는 약하게 속박된 전자에 의해 산란된 것으로 해석될 수 있다.

이것을 설명하기 위해 콤프턴은, 광자는 에너지와 함께 운동량(p=hλ-1)을 진행방향으로 갖는다고 가정했다. 어떤 산란각도 A에서, 광자의 운동량은 변하며 산란된 광자의 에너지는 광자의 운동량에 의해 되튐전자에 흡수된다. 이 이론은 모든 산란각도에서 되튐전자의 방향과 속력을 예견했으며, 실험적으로 옳게 판명되었다. 광전자효과와 콤프턴 효과는 에너지 W=hν를 갖고 운동량 p=hλ-1을 갖는 광자의 존재를 말해 준다. 입자의 성격을 설명하는 W, p와 파동의 성격을 설명하는 ν, λ의 관계를 연결지어주는 것이 플랑크의 양자상수 h이다.

드브로이파

1924년 드 브로이는 빛이 보여주는 이중성을 광자 이외의 다른 입자에 확장시켰다. 특히 그는 전자의 작용은 어떤 이유에서건 부수되는 파동성에 의해 좌우된다고 가정했다(드브로이파). 그때 전자의 파장은 광자와 같이 p=hλ-1로 주어진다. 전압 V에 의해 가속된 전자의 운동에너지는 Ve이므로, 전자의 드브로이파장은 로 주어진다. 전압 150V의 경우, 알고 있는 상수들 값을 대입하면 드브로이파장은 10-10m인데, 이 값은 보통의 X선의 파장이며 또한 대부분 결정의 원자 사이의 거리이기도 하다.

이것은 독일 과학자 막스 폰 라우에가 1912년 X선의 파동성의 기초를 확립한 실험에서 발견한 바와 같이 전자도 결정 안의 일정한 간격의 원자에 의해 회절된다는 것을 암시한다. 이 아이디어에 의해 1927년 독일 출신의 발터 엘자서는 결정에 의한 전자의 회절이 실제로 존재한다는 것을 증명했다. 드 브로이의 파동­입자 이중성은 양성자·수소·헬륨·중성자로 확장되었으며, 이 입자들의 회절성이 실험적으로 알려졌다. 이 입자들의 질량은 전자의 질량보다 훨씬 크므로 파장은 매우 짧다.

이후의 모든 연구에서 물리학자는 모든 물질이 드브로이파와 연관된 이중성을 갖는다고 여겼다. 고전역학의 대상인 큰 물체에서는 파장이 관찰하기에 너무 짧다. 이 발견은 물리학자로 하여금 이 드브로이파에 대한 문제와 파동을 운동의 입자성과 관계시키는 방법을 찾는 문제를 제기했다. 이 문제의 해결이 오늘날 알려진 양자역학의 핵심적 요소이다. 양자역학의 혁명적인 발전이 1925~30년에 일어났으며, 그것은 보통 일반인들에게는 알려지지 않은 수학적 개념을 요구하는 수학적 주제였다.

위에서 지적했듯이 물리학자는 뉴턴 역학의 엄격한 결정론적 입장을 거부하는 철저한 단계를 거쳤다. 대신에 그들은 물질의 파동성과 관계된 파동에 대해서만 결정론적 운동을 가정했다. 그리고 파동과 그와 연관된 입자의 운동 사이의 느슨한 관계를 도입했다. 그리고 이 관계에 의해 파동은 여러 가능성 중에 무엇이 일어날 것이며 어떤 관찰에서 실제로 일어날 여러 가능성들의 상대적인 확률을 예측할 뿐이다. 이런 고전적인 엄격한 결정론과는 다른 약한 상태 또는 부분적인 결정론이 이제는 아주 일반적으로 이론물리학의 근본으로 인정되고 있다.

이 비결정론적인 확률적 해석은 보어가 이끈 학파에 의해 크게 발전되었기 때문에 코펜하겐 해석(Copenhagen interpretation)이라 한다. 아인슈타인은 이 관점을 인정하지 않았으며, 또한 많은 양자론의 전문가들 특히 드 브로이, 데이비드 조지프 봄 등에 의해 거센 반발을 받았다. 이 견해의 차이점이 갖는 성격을 명확히 하는 것이 중요하다. 아인슈타인과 다른 비판가들은 물론 현재 지식에 내재한 비결정론을 포함한 양자역학의 계산방법의 우수성을 인정한다. 두 학파의 다른 점은 비결정론적 성질에 대한 태도에 있다.

코펜하겐 해석은 이 비결정론 성질이 절대적이며 근본적이라고 주장한다. 반(反)코펜하겐 학파는 이 성질은 현재 알 수 없으나 미래에 새로운 중요한 발견에 의해 제거될 수 있는 현재 지식이 갖는 불완전성의 결과로 여긴다. 이런 의미에서 이 논쟁은 양자역학의 미래의 가능한 발전에 대한 감각에 관심을 더욱 집중시킨다. 1936년 아인슈타인의 논문에서 인용된 다음 구절은 이 분야에 대한 그의 태도를 잘 보여주고 있다.

전통적인 불확정성원리를 간단히 설명한 후에 그는 다음과 같이 썼다. "그러나 나는 지금 묻는다. 이런 단일 현상들이 윌슨 상자와 가이거 계수기의 놀라운 발견 덕택으로 우리에게 가깝게 주어질 수 있었지만, 우리는 어떤 단일계들에서, 그것의 구조나 인과관계에서 이들 중요한 변화의 어떤 내적인 면을 결코 볼 수 없을 것이라고 진정으로 믿는 물리학자가 있을까? 이것을 믿는 것은 모순없이 논리적으로 가능하다. 그러나 그것은 더 완전한 개념을 찾는 것을 포기할 수 없다는 나의 과학적 본능에 정반대되는 것이다."

비결정성을 없애려는 이런 노력이 소수의 물리학자에 의해 오랫동안 계속되었으나 성공적이지 못했다. 그것이 반코펜하겐 해석의 옳지 않음을 말하고 있지는 않지만 많은 물리학자들은 코펜하겐 해석을 추종하게 되었다. 미래의 언젠가 양자역학에 엄격한 결정론을 복귀시키는 발견이 이루어진다면, 이것은 현대물리에 비결정성을 도입한 1925~30년의 물리학에 새로운 혁명이 될 것이다.

보어의 원자분광이론

낮은 압력에서 가스 방전에 의해 방출된 빛을 분광판에서 분석할 때 많은 수의 선들이 발견된다. 이 선들의 진동수는 소수점 아래 6째 자리까지 정확히 잴 수 있다. 분광판의 선형틈새에 선명히 새겨진 상으로 나타나는 모습 때문에 이것은 선으로 불린다. 특별한 원소의 이온화 과정에서 방출되거나 흡수된 선들의 집합을 스펙트럼이라 한다. 각 원자 이온의 스펙트럼에 수천 개의 선이 있는 것도 있으며, 다른 원소들은 정도에서 많은 차이가 나는 여러 복잡한 스펙트럼을 내기도 한다. 가장 간단한 경우는 수소나 알칼리 원소에서 방출되는 것이다.

원자의 스펙트럼에 대한 실험적 연구는 1860년 무렵 시작되었는데, 1880년대에 관찰된 진동수 사이에 수치적인 규칙성이 있음이 알려졌다. 보어는 1913년 처음으로 이 현상을 성공적으로 설명했다. 그후의 많은 선들과 그 선들의 상대적인 세기에 대한 연구는 지금까지 원자구조에 대한 지식에 기여하고 양자역학의 발전을 인도한 가장 풍부한 관찰자료임이 판명되었다. 보어는 아인슈타인의 광자에 대한 아이디어를 이용했다. 그는 원자가 특정한 양자화된 에너지준위(W1, W2, W3,……)에서만 존재할 수 있다고 가정했다. 그리고 높은 처음 준위(Wi)에서 낮은 나중 준위(Wf)로 떨어질 때 그 에너지 차를 갖는 광자가 방출된다고 가정했다. 다시 말해

hν=hcλ-1=Wi-Wf

이다. 흡수선은 이와 반대의 경우에 일어난다. 이런 생각은 원자뿐 아니라 분자나 핵의 스펙트럼 연구 등 뒤따른 발전과정에 그 기초가 되었다. 보어는 또한 수소에 대한 모형을 만들었다. 그는 가정으로 수소원자의 선스펙트럼을 설명하기 위해 필요한 이산된 에너지준위를 얻기 위해 전자궤도에 양자화 공식을 사용했다. 그는 전자의 각운동량(L)은 h/2π의 정수(k)배라는 공식을 제안했다. 다시 말해

L=mνr=k(h/2π), k=1,2,3,……

이다. 타원궤도를 생각할 때의 각운동량은 약간 복잡하지만 역시 위와 같다고 가정한다. 이 경우 전자는 양성자와의 거리가 달라지면서 움직이므로 다른 공식이 요구된다. 이 공식은 주양자수로 불리는 정수 n을 도입한다. k는 방위양자수라 한다. 일반적으로 양자준위를 나타내는 정수(때때로 홀수/2)를 양자수라 한다.

보어의 이론은 수소의 전자전이에 관한 스펙트럼 분석에 중요하다. 수소스펙트럼의 특징은 1885년 스위스의 요한 야코프 발머가 발견한 경험적 공식에서 나타난다.



여기서 R는 리드베리 상수이다. 발머 계열은 높은 상태에서 n=2 상태로 떨어질 때 나온다. n=1 상태로 떨어지는 경우는 시어도어 리만에 의해 발견되었는 데, 이것은 보어 이론과 잘 맞는다. 보어의 양자화공식은 드브로이파동으로 다른 방식으로 표시될 수 있다. k번째 궤도에 대해, mνkrk=k(h/2π) 관계식을 2πrk=k(h/mνk), k=1,2,3,……로 쓰면, 궤도의 원주(2 πr)는 드브로이파장(h/mνk)의 정수(k)배임을 알 수 있다. 이 형태의 공식은 악기에서 정수를 포함하는 관계식 종류에 많은 암시를 준다. 바이올린에서 파가 양쪽 끝에서 반사되며 정상파를 형성하는데, 이 두 파는 파장의 반값의 정수배가 바이올린의 선의 길이와 같게 되는 진동수를 갖는다. 다시 말해

L=m(λm/2), m=1,2,3,……

이다. 진동하는 드럼의 진동방식을 기술하는 것은 더욱 복잡한 분석이 요구된다. 그러나 이 경우도 또한 보어 이론에서의 양자수와 같이 정수에 의해 분간되는 정해진 진동형태가 있다.

슈뢰딩거의 파동역학

1926년 슈뢰딩거는 드브로이파의 아이디어를 이러한 음향장치에 대한 유추로 크게 확장시켰다. 슈뢰딩거는 운동하는 입자의 드브로이파가 시간과 공간에 따라 변하는 파의 진폭 Ψ(x, y, z, t)이 존재한다는 가정을 했다. 그의 일은 19세기에 이루어졌던 파동운동에 관한 수학적인 작업과 같이 Ψ에 대한 편미분방정식을 유추하는 것이었다. 이 과정은 일찍이 광학의 발전에서 있었던 것과 유사한 것이었다.

빛은 처음에 기하광학에 의해 주어진 경로를 지나는 것으로 여겨졌으나 파동이론은 간섭과 회절의 영향을 받는 빛의 세기의 실제적 분포를 좀 더 정확히 기술하도록 수정되었다. 슈뢰딩거는 여기서도 뉴턴의 방정식이 주는 운동은 입자의 실제 운동에 대한 근사치라고 생각했다. 그당시까지 대부분의 파동이론은 파장의 변화가 없는 균질한 매질의 경우에 제한되어 있었다. 입자가 어떤 역장(力場)에서 운동할 때 운동량은 계속적으로 변하며, 드브로이파장도 위치에 따라 달라진다. 그러므로 수소나 다른 것들의 파동의 역할에 관한 문제와 관련된 파동의 전파형태는 수학적으로 훨씬 더 복잡하다. 입자의 전체에너지(W)는 운동에너지(p2/2m, p는 운동량)와 위치에너지(V)의 합으로 주어진다. 다시 말해

p2/2m+V(x, y, z)=W

이다. 운동에너지는 양의 값이므로 입자의 운동은 V가 전체에너지 W보다 작은 공간지역에 한정되어 있다. 슈뢰딩거는 이 관계식이 운동량의 값을 아는 데 이용될 수 있으며, 그것은 곧 모든 공간에서 입자의 드브로이파장 λ=h/p를 결정할 수 있다고 생각했다. 그는 고전음향학에서 알려진 파의 진폭에 관한 방정식에서 위치에 따라 변하는 파장에 대해 이 관계식을 사용했다. 그결과 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식이 만들어졌다.



이 방정식의 성질은 양자역학에 관한 책에 잘 설명되어 있다. 여기서는 일정한 경우에서 이 방정식은 전체에너지 W가 어떤 이산된 값을 가질 때에만 해를 갖는다고 말하는 것으로 충분하다. 이런 경우는 V가 W보다 작은 공간의 영역에 한정되어 파가 어떤 한정된 영역에 제한되어 있을 때 나타난다. 진폭 또는 파동함수라 불리는 Ψ에 대한 해의 일반적인 성질은 W가 V보다 더 큰 영역에서는 진동하고 그밖의 영역에서는 빨리 감쇠한다는 것이다. 슈뢰딩거는 이 새로운 절차가 존재할 수 있는 에너지준위를 결정하며, 이 에너지를 지닌 입자의 파동함수 Ψ가 입자의 궤도운동에 대한 새로운 파동역학적 기술(記述)이라고 가정했다. 이러한 공식은 고전역학적 궤도에 대한 보어의 양자화 공식을 대체한다. 보어의 고전적 궤도 양자화는 좀더 정확한 파동역학의 방법을 위한 역사적인 디딤돌로 간주되고 있다.

수소원자에서 위치에너지 V(r)는 핵과 전자의 거리 r의 함수이다. 다시 말해

V(r)=-Ze2/r

이다. 이것에 대한 슈뢰딩거방정식의 해는 보어에 의해 얻어진 에너지(W)값과 같으며, 그 해들의 분류를 위해 3개의 양자수(n, l, m)가 필요하다. n은 앞에서 본 전체 양자수이며, l은 h/2π의 단위로 잰 각운동량이며, m은 각운동량의 z성분이다. 전자의 방향을 나타내기 위해 2개의 각도(θ, φ)가 필요하며, 파동함수는 거리에 대한 함수 Pnl(r)/r와 각도에 대한 함수 Ylm(θ, φ)의 곱으로 표시된다. 처음에 슈뢰딩거는 전자가 실제로 공간에 퍼져 있으며, Ψ2이 그 Ψ가 계산된 곳에서 전체에 대한 비의 밀도를 나타낸다고 생각했다.

이 생각은 곧 틀린 것으로 판명되었으며, Ψ2은 단위부피 안에서 전자를 발견할 수 있는 확률이라는 막스 보른 해석으로 대체되었다 (→ 색인 : 보른 근사법). 이런 확률 해석 때문에 Ψ는 종종 확률진폭으로 불린다. Ψ는 θ와 φ에 따라 다르므로 l=0인 경우에만 전자의 위치가 모든 방향으로 일정한 확률로 분포된다. 다른 l값에 대해서 확률형태는 고리형태들을 가지며, 이경우 원자는 간단한 구(球) 모습이 아니다.

1925년에 행해진 원자 분광선의 섬세한 구조에 대한 연구로, 전자는 그 운동을 기술하기 위해 또다른 좌표를 필요로 하는 것으로 밝혀졌다. 이것은 스핀(spin)이라 불리며, 공간에 어떠한 방향과도 같거나 반대방향을 갖는 축을 따라 1/2 (h/2π)의 각운동량을 갖고 도는 것으로 그려볼 수 있다. 이 발견은 네덜란드의 물리학자 게오르게 윌렌베크와 사무엘 A. 호우트스미트에 의해 이루어졌는데, 많은 물리학자에 의한 미세 구조의 연구에 대한 길고 혼동된 기간의 축적의 결과였다. 스핀의 도입은 제4의 양자수를 필요로 하며, 그 값은 ±1/2의 값으로 제한되어 있다.

N개의 전자를 갖는 원자에 있어 Ψ는 3N개의 위치좌표와 N개의 스핀 좌표를 필요로 하며, 또한 위치에너지 V는 3N의 위치좌표의 함수이다. 이 경우 파동함수는 정확히 풀기에는 너무 복잡해서 대부분의 문제는 어떻게 그러한 복잡한 파동방정식의 근사해를 구하는 방법을 찾느냐 하는 것과 관련되어 있다. 이 방법을 일반적으로 섭동론이라 하는데, 먼저 복잡한 문제를 정확하게 풀 수 있는 간단한 문제로 바꾸는 방법을 찾는 것이다. 이 문제의 해를 이용하여 실제 파동함수의 에너지준위와의 차이를 정량적으로 예측하는 것이다. 대부분의 문제는 정확히 풀기 어려우므로 이 방법으로 많은 결과를 얻게 된다.

파울리 배타 원리

오스트리아의 물리학자인 볼프강 파울리는 1924년 핵에 전자를 더할 때 채워질 수 있는 상태를 알아내는 규칙을 발견했다. 이 규칙은 파울리 배타 원리로 알려져 있다. 그것은 처음에는 경험적인 규칙으로 인식되었으나, 나중에 새로 발견된 양자역학 원리의 결과로 밝혀졌다. 파울리 배타 원리는 4개의 양자수로 이루어진 N개의 집합에서 어느 2개도 완전히 똑같을 수 없다는 규칙으로 표현될 수 있다. 원소의 유리된 원자에서 이 원리를 분석해보자.

이 원리는 분자에서 전자의 작용을 조절하고, 화학결합의 에너지와 고체에서 전자의 작용을 통제하는 데 매우 중요할 뿐 아니라, 특히 어떤 고체가 금속이거나 반도체 또는 절연체인지를 결정하는 데 아주 중요하다. 양자역학에서 파울리 원리의 기초는 동등축퇴(equivalence degeneracy)라 불리는 슈뢰딩거 방정식의 성질이다. 이것은 원자에서 N개의 전자 각각은 질량, 전하, 다른 기본성질이 모두 똑같다는 데 기인한다. 그러므로 슈뢰딩거 방정식은 어느 2개 전자의 교환에 대해 불변이다.

결국 서로 다른 양자수들의 N개 집합은 N개의 전자에 순서를 바꾸어 이루어지는 N!의 가지수로 구성될 수 있다. 서로 다른 교환의 여러 선형조합의 결과로 나온 파동함수도 슈뢰딩거 방정식의 해이다. 이러한 가능성 가운데 완전한 반대칭인 것이 언제나 1개 존재한다. 반대칭이란 두 전자를 바꾸면 부호가 바뀌는 것을 말한다. 이 경우 어떤 두 전자의 양자수가 모두 똑같으면 파동함수는 존재하지 않게 된다. 그러므로 파울리 배타 원리가 성립되는 경험적 사실은 전자의 계에서 생기는 파동함수는 완전히 반대칭이라는 것을 의미한다. 파동함수가 완전히 반대칭인 입자를 페르미온(fermion)이라 하고 페르미­디랙 통계를 따른다고 말한다. 전자 외에 양성자나 중성자도 페르미온으로 알려져 있다.

양자역학의 응용

분자구조

분자의 분광선은 양자화된 에너지준위 사이에서 빛을 흡수 또는 방출함으로써 전이되는 과정에서 일어나는데 그것은 원자에 비해 매우 복잡하다. 이 복잡한 분광선은 분자 속의 화학결합을 형성하는 원자 사이에서 전자가 어떻게 분포되어 있는지를 알게 해주는 중요한 정보원이다. 양자역학의 응용은 화학분야에 혁명을 일으켰으며, 화학물리학이라는 새로운 과학분야를 생겨나게 했다. 분자 분광선의 복잡성은 양자화된 전자의 에너지준위 외에 전체로서의 분자가 회전운동과 진동운동의 양자화된 양을 갖는다는 데 기인한다.

이 분광선의 간격으로부터 분자에서 원자 사이의 정확한 거리를 알 수 있으며 화학결합을 이루는 힘과 진동양식을 결정하는 힘에 대해 알 수 있다. 전체로서의 분자의 회전이나 진동을 전자상태의 이론과 분리해서 분석할 수 있는 이유는 핵의 질량이 전자보다 수천 배 이상 크기 때문이다. 이 사실은 막스 보른과 J. 로버트 오펜하이머에 의해 개발된 보른­오펜하이머 근사법을 사용할 수 있음을 나타낸다. 여기서는 먼저 핵은 전혀 움직이지 않는다고 가정한다.

이러한 계에서 전자의 에너지준위는 핵 사이의 거리에 따라 다르다. 이 거리에 따른 변화로 분자의 평형크기나 모양을 결정하며, 또한 회전 에너지준위나 평형 모양에 대한 진동양식을 알 수 있다. 핵은 실제로 전자에 비해 느리게 움직이며, 이러한 역학적 효과는 전자상태를 분석할 때 무시될 수 있다는 것이 여기서의 주요 아이디어이다. 분자구조의 문제는 준정지상태의 핵에 대한 전자상태의 연구와 핵의 운동에 의한 전자상태 에너지의 변화에서 야기되는 핵의 느린 운동에 관한 연구라는 두 부분으로 효과적으로 나뉜다.

고립된 원자 1개의 전자의 파동함수를 원자오비탈(orbital)이라 한다. 2개 이상의 원자가 가까이 있을 때 이들이 서로 겹침으로써 원자오비탈은 분자오비탈로 바뀌게 된다. 이 상황에서 어떤 원자에 속한 전자는 다른 원자의 핵이나 전자의 영향을 받게 된다. 그것은 슈뢰딩거 방정식을 변화시켜 파의 공간분포와 관계된 전자의 에너지준위를 변하게 한다. 분자구조 문제를 푸는 계산은 매우 복잡하며, 컴퓨터를 사용하는데, 이 경우에도 대부분의 결과는 근사값이다. 그럼에도 불구하고, 전체적인 결과는 화학에서 알려진 많은 사실들의 상호관계에 대한 이론적 토대가 되고 있다.

핵구조와 입자물리

원자핵은 원자의 약 1/10,000 크기의 반지름을 갖고 있다. 즉 10-15m 정도이다. 핵의 결합에너지는 외각 전자의 결합에너지보다 100만배 정도 크다. 핵의 질량은 그것을 구성하는 핵자들의 질량의 합보다 작다. 이 사실은 아인슈타인의 유명한 에너지 등가 법칙(E=mc2)에 대한 최초의 직접적인 실험적 뒷받침이었다. 핵에 양자역학을 처음으로 주요하게 응용했던 것은 알파 입자를 방출하는 원소의 방사선 붕괴에 대한 해석이었다.

이러한 해석은 1928년 독일에서 조지 가모브와 미국에서 R.W. 거니와 에드워드 콘던에 의해 독립적으로 이루어졌다. 예를 들어 우라늄 -238(238U)의 붕괴에서 4.25MeV(메가 전자 볼트)의 알파 입자가 방출된다. 이 입자의 반감기는 4.5×109년이다. 그것은 핵의 지름 정도에서나 작용하는 강력(强力)에 의해 109년 동안 핵 속에 있게 된다. 알파 입자와 238U의 딸핵자인 토륨-234(234Th)의 위치에너지 장벽은 입자의 에너지보다 훨씬 높다.

양자역학적으로 그러한 장벽을 통과할 확률이 약간 있는데, 실제 계산 결과 알파 붕괴를 정량적으로 이해할 수 있었다. 이것은 당시의 파동함수의 확률적 해석에 대한 신뢰를 강화하는 데 도움을 주었다. 1932년 핵물리학에서 획기적인 일련의 발견들이 있었다. 이 발견이란 ① 중성자의 발견, ② 중수소의 발견, ③ 양전자의 발견, ④ 가속 양성자에 의한 인공핵변환을 말한다.

1935년 일본의 물리학자 유카와 히데키는 양성자와 중성자 등 핵자가 강한 상호작용이라는 새로운 종류의 상호작용으로 서로 결합한다는 것을 보였다. 이 작용은 짧은 거리에서만 적용되며, 핵자 사이가 핵의 지름 이상의 거리에서는 힘이 빨리 0으로 떨어져버린다. 지난 30년간 핵물리의 중요문제는 강한 상호작용의 모든 것을 정량적으로 결정하는 실험과 이론을 만들어 양자역학을 관찰된 모든 핵모형에 응용하는 것이었다. 핵자는 전자와 같이 스핀을 갖고 있다.

핵모형의 발전은 강한 상호작용의 성격을 모르기 때문에 전자이론보다 훨씬 어려웠다. 특별히 중요한 것은 1937년 발견된 강한 상호작용의 전하 무관성이었다. 이것은 양성자나 중성자 사이의 강한 상호작용은 거의 같다는 것이었다. 이 사실은 핵의 구조 계산을 매우 쉽게 했을 뿐만 아니라 양성자나 중성자가 핵자라는 어떤 기본입자의 다른 두 양자상태라는 견해를 강화해주었다. 핵이 양성자상태인지 중성자상태인지를 말해주는 하전 스핀의 개념을 도입하게 되었다.

서로 다르게 보이는 입자들이 어떤 입자의 상이한 양자상태에 대응하는 것이라는 생각은 지난 20년 동안 입자물리학에서 매우 중요한 역할을 했다. 이 견해는 1934년 페르미에 의해 베타 붕괴이론에 성공적으로 응용되었다. 베타 붕괴란 중성자가 전자를 방출하고 양성자상태로 되는 것을 말한다. 반대로 핵 속의 양성자는 양전자를 방출하고 중성자상태로 되기도 한다. 이 과정에서 언제나 전하량은 보존된다.

N을 중성자, P를 양성자라 하면, 이 변화는 N→P+e(전자방출), P→N+e+(양전자 방출)로 표시할 수 있다.

변화된 핵자는 복합적 핵의 일부분이기 때문에 이 변환에 관계된 에너지 변화는 전체 핵의 변화와 같다. 이것이 사실이라면 방출된 전자나 양전자는 원래 핵과 변환된 핵의 질량차에 해당되는 일정한 운동에너지를 가져야 한다. 그러나 오랫동안의 자연 베타 붕괴 연구 결과 방출된 전자는 광범위한 연속적인 운동에너지 분포를 갖고 있는 것으로 알려졌다. 이것은 언뜻 보면 에너지 보존법칙의 위배로 보인다.

그러나 이 문제는 1933년 파울리에 의해 해결되었다. 그는 실험에서 관찰되지 않은 새로운 입자가 방출된다고 제안했다. 이 입자는 페르미에 의해 중성미자로 불린다. 이 입자는 중성이며 정지질량이 없고 어떤 작용도 하지 않고 고체 속에서 먼거리를 갈 수 있다. 1934년 페르미는 이 중성미자 아이디어를 이용해 베타 붕괴에 대한 양자역학적 이론을 개발했다. 이 이론은 양자변환에서 새 입자의 생성과 소멸 과정을 취급하기 위한 새로운 수학적 방법을 사용했다.

이것은 약한 상호작용이라 불리는 진행과정을 위한 수학적 양식의 발견을 야기시켰다. 베타 붕괴에 대한 모든 연구는 페르미 이론의 확장에 기초를 두고 있다. 중성미자 가정은 많은 실험적 방법으로 확증되고 있다(붕괴되는 핵의 되튐 측정, 중성미자가 갖고 있는 운동량의 측정과 중성미자 자체의 직접적 발견 등). 이런 아이디어들의 발전은 약한 상호작용의 성격에 관한 여러 연구분야를 열었다.

그외의 응용

현대물리학에 양자역학이 중요한 역할을 하는 분야가 많으나, 여기서 모두 다룰 수는 없다. 분자구조에의 응용을 넘어서는 것으로 고체상태의 물질에 관한 이론이 있다. 이것은 무엇보다도 결정구조를 결정하는 힘, 결정 안에서 상당한 거리를 운동할 수 있는 전자의 성질, 자기적 성질을 결정하는 물리적 요소에 관한 것이다. 또한 초전도현상을 나타내는 금속 전자의 특별한 상호작용에 대한 양자역학적 취급도 중요하다.

양자역학은 또한 전자와 원자의 충돌 과정의 연구에 폭넓게 사용된다. 즉 원자와 충돌된 전자가 원자를 들뜬 상태로 올리거나, 1개나 여러 개의 전자를 자유롭게 하는( 이온화) 구조를 상세하게 밝히는 일이다. 원자와 원자, 분자와 분자의 충돌에서 원자와 분자가 분리되고 다시 결합되는 방법과 화학반응이 일어나는 빈도를 결정하는 기본과정을 연구하기 위해 양자역학이 사용된다. 양자역학적 충돌 이론은 핵이 변환되는 핵반응에 중요한 역할을 한다.

이것은 또한 전자와 양전자쌍의 생성·소멸, 중간자의 생성에 관계되는 많은 비슷한 과정에 쓰인다. 다른 중대한 발전은 양자전기역학(QED)의 발전이다. 처음에 전자기장은 영국의 물리학자·화학자인 제임스 클럭 맥스웰의 고전적 방법으로 취급할 수 있다고 가정했다. 그러나 곧 1926년 디랙에 의해 최초로 전자기장의 방정식은 양자현상을 뚜렷이 설명하도록 재구성되어야 하는 것으로 판명되었다. 이것은 보통 방법으로 설명될 수 없는 에너지준위에 대한 중요한 보정을 가져왔고, 이 값은 실험에 의해 확인되었다( 램­러더퍼드 전이).

QED의 가장 중요한 실제적 결과 중에는 레이저의 발전이 있다. 레이저에서 종전의 빛보다 수백만 배 강한 빛이 발생된다. 이것은 1917년 아인슈타인에 의해 처음으로 발견된 성질의 결과인데 응집된 광속(light beam)에 놓인 원자는 자발적 방출 때보다 더 큰 비율로 방출하도록 자극된다는 것이다. 그러한 강한 광속의 생성은 물질의 새로운 광학적 성질 연구의 여러 분야를 열어주었다.

E.U. Condon 글 | 박래웅(朴來雄) 참조집필

참고문헌

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The Strange Story of the Quantum, 2nd ed. : Banesh Hoffman, Dover Publications Inc., 1959
The Principles of Quantum Mechanics, 4th ed. : P. A. M. Dirac, Oxford University Press, 1958

출전 : [브리태니커백과사전 CD GX], 한국브리태니커, 2004
   
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